自分が出願した後で、誰かが早期審査を申請すると、その商標を先に取られてしまいますか？

商標権は、早期審査の申請の有無に関係なく、出願日が早い方が優先されます。

商標出願後に、他人が自分の商標と似たような商品・サービスについて出願し、早期審査を申請しても、必ず先に出願した方が優先され、後の出願には拒絶理由が通知されます。